Aljabar part 1

Bilangan

A.     Bilangan dan pengertiannya

Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun lamanya telah diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan kompleks.

1.      Jenis-jenis bilangan

a.       Bilangan Riil ( r )

Bilangan riil dalam matematika menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk bulat maupun dalam bentuk desimal seperti 2,487....  atau 3,25678. Bilangan riil meliputi.

1)      Bilangan irrasional

Bilangan irrasional adalah bilangan riil yang tidak dapat dinyatakan dalam pecahan dan termasuk bilangan desimal tak hingga tak berulang. Contoh bilangan irrasonal yang dikenal adalah π, , dan e.

2)      Bilangan rasional ( q )

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai  dimana a,b himpunan bilangan bulat ( Z ) dan b ≠ 0. Dimana batasan dari bilangan rasional adalah dengan selang (  ). Dikatakan bilangan rasional jika bilangan tersebut adalah bilangan bulat atau bilangan desimal yang berhingga dan bilangan desimal tak hingga tapi berulang (bilangan pecahan).

a)      Bilangan pecahan

Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk  , dengan a,b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0. Bilangan a disebut pembilang dan bilangan b disebut sebagai penyebut. Contoh H = { }

Keterangan tambahan :  = 2, berarti  bukan termasuk pecahan. Sifat pecahan adalah sebagai berikut :

-          Penjumlahan dan pengurangan

 dimana b,d ≠ 0

-          Perkalian

 dimana b,d ≠ 0

-          Pembagian

 dimana b,c ≠ 0

-          Pecahan negatif

 dimana b ≠ 0

Menyatakan bilangan desimal berhingga dan tak berhingga tapi berulang menjadi bilangan rasional

                                    Untuk memahaminya, silahkan lihat contoh berikut :

Contoh 1 (untuk bilamgan desimal berhingga)

Nyatakan pecahan desimal 3,24 dalam bentuk pecahan!

Jawab :

Contoh 2 (untuk bilangan tak berhingga tapi berulang)

Nyatakan pecahan desimal 0,111..... dalam bentuk pecahan!

Jawab :

Misalkan x = 0,111....

     

Maka

(Untuk lebih lanjut akan dibahas tentang pecahan)

b)      Bilangan bulat ( z )

Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari himpunan bilangan cacah dan bilangan negatif.

-          Operasi hitung bilangan bulat

Bilangan positif + bilangan positif = bilangan positif.

Bilangan negatif + bilangan negatif = bilangan negatif.

Bilangan positif + bilangan negatif = bilangan positif atau negatif.

Jika bilangan positif > bilangan negatif hasilnya bilangan positif.

Jika bilangan positif < bilangan negatif hasilnya bilangan negatif.

-          Sifat penjumlahan pada bilangan bulat

Sifat tertutup

Untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku a + b = c

dengan c juga bilangan bulat.

Sifat komutatif

Untuk setiap bilangan bulat a dan b berlaku a+b = b+a

Unsur identitas

Unsur identitas penjumlahan adalah 0

Jika a bilangan bulat maka berlaku a+0 = 0+a = a

Sifat asosiatif

Untuk setiap bilangan bulat a,b dan c berlaku ( a+b )+c=a+(b+c)

Mempunyai invers

Lawan dari a adalah ­–a, sedangkan lawan dari –a adalah a. Dengan kata lain,untuk setiap bilangan bulat selain nol pasti mempunyai lawan, sedemikian hingga berlaku a+(-a)=(-a)+a=0.

-          Sifat pengurangan pada bilangan bulat

Pada pengurangan bilangan bulat mengurangi dengan suatu lawan bilangan sama artinya dengan menambah dengan lawan pengurangannya. Secara umum, dapat dituliskan sebagai berikut :

Untuk setiap bilangan bulat a dan b , maka berlaku.

-          Sifat-sifat perkalian pada bilangan bulat

Perkalian pada bilangan bulat antara positif dan negatif

·        

·        

·        

·        

Sifat tertutup

Untuk setiap bilangan bulat p dan q, selalu berlaku  dengan r juga bilangan bulat.

Sifat asosiatif

Untuk setiap bilangan bulat p dan q, selalu berlaku  

Sifat distributif perkalian

Untuk setiap bilangan bulat p,q dan r  selalu berlaku

Sifat identitas

Untuk setiap bilangan bulat p, selalu berlaku

Elemen identitas pada perkalian adalah 1

-          Sifat pembagian pada bilangan bulat

Sifat tersebut hampir sama dengan sifat pada perkalian untuk bilangan positif dan negatif. Tapi,bedanya ia tidak bersifat tertutup,komutatif,asosiatif dan distributif. Pembagian merupakan invers dari perkalian. Hal in di buktikan sebagai berikut :

Jika p,q,r bilangan bulat, dengan q faktor p dan q ≠ 0 maka berlaku

Sifat pembagian dengan bilangan nol, yaitu:

Untuk setiap bilangan bulat a , berlaku 0 : a =  0; a ≠ 0

Hal ini tidak berlaku jika a = 0, karena 0 : 0 = tidak terdefinisi

Membagi suatu bilangan dengan cara bersusun

Contoh :

Tentukan 134 : 4 !

Jawab :

 Hasil pembagian ini adalah

-          Sifat eksponen pada bilangan bulat

1)       (sebanyak n faktor )

2)      

3)      

4)      

5)      

6)      

7)      

8)      

9)      

10)   , dengan n ≠ 0

11)    ,dengan a,b  z^-

12)   , dengan a,b  z^-

13)   =

(Lebih lanjut akan dibahas tentang eksponen )

-    Sifat logaritma pada bilangan bulat

·        

·        

·        

·        

·        

·        

·        

·        

·        

·        

·        

( Lebih lanjut akan dibahas tentang logaritma)

Bilangan bulat juga, terdiri dari:

i)        Bilangan negatif

Bilangan negatif adalah bilangan yang bertanda negatif dalam selang (-1,-).

j)        Bilangan cacah

Bilangan cacah adalah himpunan bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu{0,1,2,3,...}. Dengan kata lain himpunan bilangan asli ditambah 0. Bilangan cacah selalu tidak bertanda negatif. Bilangan cacah ada dua,yaitu:

§  Bilangan nol

Bilangan nol memiliki peranan penting dalam matematika sebagai identitas tambahan bagi bilangan bulat, bilangn riil dan struktur aljabar lainnya. Sebagai angka, nol digunakan sebagi tempat dalam sistem nilai tempat.

§  Bilangan asli ( n )

Dalam matematika, terdapat dua kesepakatan mengenai himpunan bilangan asli. Yang pertama definisi menurut matematikawan tradisional, yaitu himpunan bilangan bulat positif bukan 0 {1,2,3,...}. sedangkan yang kedua definisi oleh logikawan dan ilmuwan komputer, adalah himpunan dan bilangan bulat positif {0,1,2,3,..}. Bilangan asli, terdiri dari:

v  Bilangan prima

Adalah seluruh bilangan asli yang hanya mempunyai faktor pembagi satu dan bilangan itu sendiri atau yang hanya dapat dibagi oleh 1 dan bilangan itu sendiri.

v  Bilangan komposit

Bilangan komposit adalah seluruh bilangan asli kecuali 1 dan tidak termasuk dalam bilangan prima

v  Bilangan ganjil

Yaitu bilangan yang  jika dibagi 2 bersisa 1

v  Bilangan genap

Yaitu bilangan yang  habis dibagi 2

Sifat-sifat penjumlahan dan perkalian bilangan genap dan ganjil

Sifat-sifat dalam penjumlahan dua bilangan adalah :

1. Bilangan Ganjil ± Bilangan Ganjil = Bilangan Genap

2. Bilangan Ganjil ± Bilangan Genap = Bilangan Ganjil

3. Bilangan Genap ± Bilangan Ganjil = Bilangan Ganjil

4. Bilangan Genap ± Bilangan Genap = Bilangan Genap

Sifat-sifat dalam perkalian dua bilangan adalah :

1. Bilangan Ganjil x Bilangan Ganjil = Bilangan Ganjil

2. Bilangan Ganjil x Bilangan Genap = Bilangan Genap

3. Bilangan Genap x Bilangan Ganjil = Bilangan Genap

4. Bilangan Genap x Bilangan Genap = Bilangan Genap